OLÁ ALUNOS DO 8º ANO!

ESTE BLOG É DE VOCÊS!

Aproveitem para tirar dúvidas, postar comentários e estudar as definições postadas aqui, pois, em cada conteúdo estudado vocês encontrarão mais definições para enriquecer os seus estudos, além do livro didático.

APROVEITEM E BONS ESTUDOS!

VÍDEO - CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

NÚMEROS RACIONAIS (Q)

Os números racionais são aqueles números que podem ser escritos na forma de fração. Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes:

Por exemplo:

·         Em forma de fração ordinária: 6/3; 1/2; 9/3 ; e todos os seus opostos. Esses números tem a forma a/b; com a , b pertencente a Z e b ≠ 0.

·         Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita: 

0,3 = 3/10 ; 0,25 = 25/100 = 1/4 ; -0,75 = -75/100 = -3/4

Esses números têm a forma a/b com a , b pertencentes ao conjunto Z e b ≠ 0.

·         Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica. São dízimas periódicas simples ou compostas:

1/3 = 0,33333.... 4/11 = 0,363636... 23/90 = 0,25555.....

As dízimas periódicas de expansão infinita, que podem ser escritas na forma a/b : com a e b pertencentes ao conjunto Z e b ≠ 0.

·         O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula. Q = {x = a/b , com a pertencente a Z e b pertencente a Z*}

Outros subconjuntos de Q:



Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q.

Q* => É o conjunto dos números racionais diferentes de zero.

Q+ => É o conjunto dos números racionais positivos e o zero.

Q- => É o conjunto dos números racionais negativos e o zero.

Q*+ => É o conjunto dos números racionais positivos.

Q*- => É o conjunto dos números racionais negativos.

OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS 

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Colocamos vírgula debaixo de vírgula e operamos como se fossem números naturais.

 

Exemplo:

1) Efetuar 2,64 + 5,19

2,64

5,19 +
 ----
7,83

2) Efetuar 8,42 - 5,61

8,42

5,61 -
 ----
2,81

Se o número de casas depois da vírgula for diferente, igualamos com zeros à direita.

3) Efetuar 2,7 + 5 + 0,42

2,70

5,00 +
0,42
 ----
8,12

4) efetuar 4,2 - 2,53

4,20

2,53 -

 ------
1,67

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

Multiplicamos os números decimais como se fossem números naturais. O números de casas decimais do produto é igual a soma do número de casas decimais dos fatores.

 

Exemplo

1) efetuar 2,45 x 3,2

2,46

x3,2
 -----
 7,872

2) efetuar 0,27 x 0,003

   0,27

x 0,003
 ----------
 0,00081

MULTIPLICAÇÃO POR POTENCIA DE 10

Para multiplicar por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vírgula para a direita, uma, duas, três, etc casas decimais.

 

Exemplos:

a) 3,785 x 10 = 37,85

b) 3,785 x 100 = 378,5

c) 3,785 x 1000 = 3785

d) 0,0928 x 100 = 9,28

DIVISÃO

Igualamos as casas decimais do dividendo e do divisor e dividimos como se fossem números naturais.

 

Exemplos:

1) efetuar 17,568 : 7,32

Igualando as casas decimais fica : 17568 : 7320 = 2,4

2) Efetuar 12,27 : 3

Igualando as casas decimais fica: 1227 : 300 = 4,09

DIVISÃO POR POTÊNCIA DE 10

 

Para dividir por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda, uma, duas três , etc casas decimais.

Exemplos:

a) 379,4 : 10 = 37,94

b) 379,4 : 100 = 3,794

c) 379,4 : 1000 = 0,3794

d) 42,5 ; 1000 = 0,0425

POTENCIAÇÃO

 

A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.

 

Exemplos:

1) (1,5)² = 1,5 x 1,5 = 2,25

2) (0,4)³ = 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064

vamos lembrar que: são válidas as convenções para os expoentes um e zero.

Exemplos

1) (7,53)¹ = 7,53

2) ( 2,85)⁰ = 1

TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÕES EM NÚMEROS DECIMAIS

 

Para transformar uma fração em números decimais, basta dividir o numerador pelo denominador (obs.: o numerador é o número de cima da fração e o denominador o números debaixo)

 

Exemplos

Transformar em números decimais as frações irredutíveis:

1) 5/4 = 5 : 4 = 1,25 que será um, número decimal exato

2) 7/9 = 7 : 9 = 0,777... é uma dizima periódica simples

3) 5/6 = 5: 6 = 0,8333...... é uma dizima periódica composta

 

Outros exemplos

a) 4,666... dízima periódica simples (período 6)

b) 2,1818....dízima periódica simples ( período 18)

c) 0,3535.... dízima periódica simples (período 35)

d) 0,8777.... dízima periódica composta (período 7 e parte não periódica 8)

e) 5,413333.... dízima periódica composta (período 3 e parte não periódica 41)

PRODUTOS NOTÁVEIS

Definição

Chamamos de Produtos Notáveis algumas expressões algébricas ou polinômios que aparecem com mais frequência em cálculos algébricos. Devido a essa regularidade recebem esse nome e são utilizados principalmente para a fatoração de polinômios e também para evitar erros com sinais.

O quadrado da soma de dois termos

Observe a representação e utilização da propriedade da potenciação a seguir:

(a + b)² = (a + b) . (a + b)

Dizemos que a é o primeiro termo, enquanto b é o segundo termo.

Se desenvolvermos esse produto usando a propriedade distributiva da multiplicação teremos:

(a + b)² = (a + b) . (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Desta forma, podemos afirmar que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

O quadrado da diferença de dois termos

Observe a representação e utilização da propriedade da potenciação a seguir:

(a – b)² = (a – b) . (a – b)

Dizemos que a é o primeiro termo, enquanto b é o segundo termo.

Se desenvolvermos esse produto usando a propriedade distributiva da multiplicação teremos:

(a – b)² = (a – b) . (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b²

Desta forma, podemos afirmar que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

O produto da soma pela diferença de dois termos

Observe a representação e utilização da propriedade a seguir:

 (a + b) . (a – b)

Se o desenvolvermos, poderemos transformá-lo em uma diferença de quadrados, veja:

(a + b) . (a – b) = a² – ab + ab – b² = a² – b²

Desta forma, podemos afirmar que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

O cubo da soma de dois termos

Observe a representação da propriedade de potenciação a seguir:

(a + b)³ = (a + b) . (a + b)²

Agora, observe como podemos transformá-la, utilizando a propriedade distributiva:

(a + b)³ = (a + b) . (a² + 2ab + b²) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Desta forma, podemos afirmar que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo.

O cubo da diferença de dois termos

Observe a representação da propriedade de potenciação a seguir:

(a – b)³ = (a – b) . (a – b)²

Agora, observe como podemos transformá-la, utilizando a propriedade distributiva:

(a – b)³ = (a – b) . (a² – 2ab + b²) = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Desta forma, podemos afirmar que o cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo.

FATORAÇÃO

Fatorar uma expressão algébrica significa decompô-la em um produto de fatores. 

Podemos dividir o estudo de fatoração de expressões em alguns casos particulares:

Caso 1  : Fator Comum em Evidência

Neste caso, temos que observar se há fatores comuns a todos os termos da expressão em questão. Se houver, tomamos o maior divisor comum dos termos, colocando-o em evidência e dividimos cada termo por este fator comum.

Exemplo 1  : Fatorar a expressão 4x+6y+10z  .

Primeiramente observamos que, para os coeficientes 4  , 6  e 10  , o maior divisor comum é o número 2  ; já para as incógnitas, ou variáveis, x  , y  e z  , não há fator comum.

Colocamos os divisor comum em evidência e dividimos a expressão por este fator. Assim:

2(2x+3y+5z) 

Notem que esse processo é o inverso da propriedade distributiva, pois:

2(2x+3y+5z)=4x+6y+10z 

Exemplo 2  : Fatorar a expressão 3x 3 y+9x 2 y 2 −24xyz  .

Vejam que neste caso, temos constantes e variáveis comuns aos termos. Observem que para as constantes 3  , 9  e 24  , o maior divisor comum é o número 3  , já para as vaiáveis x 3 y  , x 2 y 2   e xyz  , o maior divisor comum é xy  . Fazemos:

3xy(x 2 +3xy−8z) 

Para a verificação, basta aplicar a propriedade distributiva e comparar o resultado obtido com a expressão original:

3xy(x 2 +3xy−8z)=3x 3 y+9x 2 y 2 −24xyz 

Caso 2  : Agrupamento

Quando  não tivermos um fator comum a todos os termos, mas apenas a grupos de termos, separamos esses grupos e fatoramos cada grupo individualmente, como feito no caso 1  , colocando em evidência os fatores comuns.

Exemplo 3  : Fatorar a expressão x 2 +ax+bx+ab  .

Vejam que não há um fator comum a todos os termos desta expressão, mas se a separamos em dois grupos, conseguiremos fatorá-la:

 x 2 +ax + bx+ab  

No primeiro grupo, o fator comum é o x  ; já no segundo grupo, o fator comum é o b  . Então reescrevemos a expressão colocando os fatores comuns em evidência:

x(x+a)+b(x+a) 

Notem que a expressão acima ainda possui fatores comuns, que é o x+a  . Continuamos a fatorar esta expressão colocando o fator x+a  em evidência:

(x+a)(x+b) 

Para verificarmos este resultado, basta aplicarmos a propriedade distributiva e comparar o resultado obtido com a expressão original:

(x+a)(x+b)=x 2 +bx+ax+ab 

Exemplo 4  : Fatorar a expressão 6x 2 −9ax+4bx−6ab  .

Primeiramente localizamos os grupos que possuem fatores comuns e colocamo-os em evidência:

 6x 2 −9ax + 4bx−6ab  

E agora fazemos:

3x(2x−3a)+2b(2x−3a) 

Como a expressão ainda possui fatores comuns, fazemos:

(2x−3a)(3x+2b) 

Para verificarmos este resultado, aplicamos a propriedade distributiva e comparamos com a expressão original:

(2x−3a)(3x+2b)=6x 2 +4bx−9ax−6ab 

Caso 3  : Trinômio Quadrado Perfeito

Um trinômio é chamado de trinômio quadrado perfeito quando dois de seus termos possuem raiz quadrada exata e o terceiro termo for duas vezes o produto dessas raízes.

Para o caso do trinômio x 2 +2xy+y 2   , temos que os termos x 2   e y 2   possuem raiz quadrada exata: x 2  − −  √ =x  e y 2  − −  √ =y  e o terceiro termo 2xy  é igual a duas vezes o produto das raízes quadradas dos outros dois termos.

Um trinômio quadrado perfeito pode ser decomposto na soma ou na diferença das raízes quadradas dos termos que possuem raiz quadrada exata:

i)  x 2 +2xy+y 2 =(x+y) 2  

Para verificarmos esta igualdade, basta percebermos que (x+y) 2 =(x+y)(x+y)  . Desta forma, aplicando a propriedade distributiva, obtemos:

(x+y)(x+y)=x 2 +xy+xy+y 2 =x 2 +2xy+y 2  

ii)  x 2 −2xy+y 2  

Analogamente ao item i)  , fazemos:

(x−y)(x−y)=x 2 −xy−xy+y 2 =x 2 −2xy+y 2  

Observando os itens i)  e ii)  , podemos resumir como:

O quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro pelo segundo termos, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplo 5  : Fatorar a expressão 9x 2 +6x+1  .

Primeiramente temos que localizar os termos que possuem raiz quadrada exata, que neste exemplo são os termos 9x 2   e 1  , pois 9x 2  − − −  √ =3x  e 1  √ =1  . Vejam que o segundo termo 6x  é duas vezes o produto das raízes quadradas dos outros dois termos. Temos que:

{9x 2  − − −  √ =3x1  √ =1  

Assim:

9x 2 +6x+1=(3x+1) 2  

Exemplo 6  : Fatorar a expressão 4x 2 −12xy+9y 2   .

Vemos claramente que o primeiro e o terceiro termos possuem raízes quadradas exatas: 4x 2  − − −  √ =2x  e 9y 2  − − −  √ =3y  . Já o segundo termo é o duplo produto das raízes quadradas dos outros dois termos:

4x 2 −12xy+9y 2 =(2x−3y) 2  

Observações: Quando fatoramos um trinômio quadrado perfeito, este é transformado no quadrado de uma soma ou no quadrado de uma diferença:

∙x 2 +2xy+y 2 =(x+y) 2  

Caso 4  : Trinômio do Segundo Grau da Forma x 2 +Sx+P  .

Esse tipo de fatoração é conhecido como fatoração por Soma e Produto. Num trinômio de segundo grau da forma x 2 +Sx+P  , assumindo que S=u+v  e P=u⋅v  , podemos decompô-lo num produto de binômios do primeiro grau:

x 2 +Sx+P=(x+u)(x+v) 

Talvez se pensarmos do modo inverso, facilite o entendimento. Vamos considerar o produto entre dois binômios do primeiro grau:

(x+u)(x+v) 

Aplicando a propriedade distributiva, obtemos:

x 2 +ux+vx+uv=x 2 +x(u+v)+uv 

sendo x  a incógnita e u  e v  constantes quaisquer. Sendo assim:

∙x 2   é o primeiro termo;
∙x(u+v)  é o segundo termo;
∙v  é o terceiro termo.

Se fizermos S=u+v  e P=uv  , a expressão assume a forma x 2 +Sx+P  .

Exemplo 7  : Fatorar a expressão x 2 +8x+15  .

Nesta expressão, 8x  é o segundo termo e 15  é o terceiro termo. Então, temos que:

{S=u+v=8P=uv=15  

Para fatorar a expressão, temos que encontrar dois números cujas soma seja igual a 8  e cujo produto seja igual a 15  .

Com a prática, identificamos estes números rapidamente, mas se não soubermos, podemos montar uma tabela com as possibilidades. Devemos observar que:

1)  O produto P=uv=15  é um número positivo; logo, os números devem possuir o mesmo sinal, ambos positivos ou ambos negativos;

2)  A soma S=u+v=8  é positiva. Logo, os dois números são positivos.

Montemos uma tabela com produto entre dois números positivos que resulte em 15  e suas respectivas somas, a fim de checar qual dessas somas resulta em 8  :

Vemos que os números procurados são 3  e 5  , pois o produto entre eles é 15  e a soma é 8  . Logo:

x 2 +8x+15=(x+3)(x+5) 

Exemplo 8  : Fatorar a expressão x 2 −9x+20  .

Temos que:

{S=u+v=−9P=uv=20  

Temos que encontrar dois números cuja soma seja −9  e cujo produto seja 20  . Devemos observar que:

1)  O produto P=uv=20  é positivo, logo os números possuem o mesmo sinal;

2)  A soma S=u+v=−9  é negativa. Logo os números são negativos.

Mantemos uma tabela com o produtos entre dois números negativos que resultem em 20  e suas respectivas somas, a fim de checar qual dessas somas resulta em −9  :

Os números procurados são −4  e −5  , pois o produto entre eles é 20  e a soma −9  . Logo:

x 2 −9x+20=(x−4)(x−5) 

Exemplo 9  : Fatorar a expressão x 2 +3x−28  .

Temos que:

{S=u+v=3P=uv=−28  

Devemos observar que:

1)  O produto P=uv=−28  é negativo, sugerindo que os números possuem sinais contrários;

2)  Como a soma S=u+v=3  é positiva, concluímos que o maior número em valor absoluto é positivo.

Montamos uma tabela com o produto entre os números, sendo o maior em valor absoluto positivo e o menor, negativo, com suas respectivas somas:

Os números procurados são −4  e 7  , pois o produto entre eles vale −28  e a soma é 3  . Assim:

x 2 +3x−28=(x−4)(x+7) 

Exemplo 10  : Fatorar a expressão x 2 −2x+15  .

Temos que:

{S=u+v=−2P=uv=−15  

 

Observemos que:

1)  O produto P=uv=−15  ; logo os números possuem sinais contrários;

2  Como a soma S=u+v=−2  , concluímos que o maior número em valor absoluto é negativo. Montemos uma tabela:

Os números procurados são 3  e −5  , pois o produto entre eles vale −15  e a soma vale −2  . Logo:

x 2 −2x−15=(x+3)(x−5) 

Caso 5  : Diferença de Quadrados

Quando um binômio é a diferença de dois quadrados perfeitos, podemos decompô-lo em dois fatores, sendo um a soma e o outro a diferença das raízes quadradas dos termos do binômio:

x 2 −y 2 =(x+y)(x−y) 

Esta igualdade é fácil de verificar aplicando a propriedade distributiva:

(x+y)(x−y)=x 2 −xy+xy−y 2 =x 2 −y 2  

Exemplo 11  : Fatorar o binômio x 2 −25  .

Olhando individualmente cada termo do binômio temos que x 2  − −  √ =x  e 25 − −  √ =5  , logo:

x 2 −25=(x+5)(x−5) 

Exemplo 12  : Fatorar o binômio 36x 4 −144y 2   .

Para cada termo do binômio, temos que 36x 2  − − − −  √ =6x 2   e 144y 2  − − − − −  √ =12y  . Assim:

36x 4 −144y=(6x 2 +12y)(6x 2 −12y) 

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TRIÂNGULOS

PROPRIEDADES DE UM TRIÂNGULO ISÓSCELES

1° Propriedade: 

Em todo triangulo isósceles, os ângulos da base são congruentes.

2° Propriedade:

 A bissetriz do  do vértice de um triângulo isósceles coincide com a mediana e com a altura relativa à base.

Outras Propriedades:

1° Propriedade:

A medida  do triangulo externo de um triangulo é igual a soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.

2° Propriedade:

Se dois lados de um triângulos são desiguais, então o maior lado opõe-se ao maior ângulo.

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Cálculo do comprimento de uma circunferência

A circunferência delimita o espaço preenchido pelo círculo.

A circunferência é um conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do centro. Essa distância é conhecida como raio. A circunferência é estudada pela Geometria Analítica e, em geral, em um plano cartesiano. O círculo, que é formado pela circunferência e pelos infinitos pontos que preenchem seu interior, é estudado pela Geometria Plana, pois ele ocupa um espaço e pode ter sua área calculada, diferentemente da circunferência.

Para calcularmos o perímetro utilizando a seguinte definição: perímetro é a medida do contorno de um objeto. Nos polígonos o perímetro é dado a partir da soma de todos os seus lados. Já na circunferência o perímetro é obtido quando calculamos o seu comprimento.

Para calcular o comprimento de qualquer circunferência, precisamos conhecer a medida do raio (r). Conhecido o valor do raio, o comprimento da circunferência é dado pelo dobro do produto do raio por π(número irracional cujo valor aproximado é 3,14). Seja C o comprimento da circunferência, temos a seguinte fórmula:

C = 2·π·r

Mas se multiplicarmos o raio da circunferência por 2, encontraremos a medida do diâmetro (segmento de reta que intercepta dois pontos da circunferência passando pelo centro). Seja d o diâmetro, também podemos utilizar a seguinte fórmula para calcular o comprimento da circunferência:

C = π·d

Como já dissemos, o círculo é uma figura plana, por isso podemos calcular sua área. Diferentemente das áreas limitadas por polígonos, não temos um valor para medidas de base ou de altura em um círculo. Por isso, para calcular a sua área, utilizamos a única informação que temos a seu respeito: o raio. A área de um círculo é dada pelo produto de π e do quadrado do raio. Seja A a área do círculo, temos a seguinte fórmula:

A = π·r²

Se o comprimento da circunferência for dado em cm, a área do círculo será dada em cm²; se o comprimento da circunferência for dado em m, a área do círculo será dada em m² e assim sucessivamente.

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DESAFIO

Siga as seguintes instruções:

 

·        Multiplique o numero do mês em que nasceu por 5;

·        Some 7 ao resultado;

·        Multiplique por 4

·        Some por 13

·        Multiplique por 5

·        Some o dia do aniversário

·        Forneça o resultado final

 

COMPREENDO O DESAFIO

 

Mentalmente, subtraia 205 do resultado e descubra que os dois últimos algarismos formam o dia do aniversário da pessoa e os dois primeiros formam o  número do mês correspondente.

Quer aprender? Teste com alguém!


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PROPRIEDADES DOS QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS


https://www.youtube.com/watch?v=idwGcGAPrmc 

PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

GRANDEZAS PROPORCIONAIS - REGRA DE TRÊS

Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado.
O volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo,  são alguns exemplos de grandezas.

No nosso dia-a-dia encontramos varias situações em que relacionamos duas ou mais grandezas.

Em uma corrida  quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.

Numa construção , quanto maior for o número de funcionários, menor será o tempo gasto para que esta fique pronta.  Nesse caso, as grandezas são o número de funcionário e o tempo.

Grandezas Diretamente Proporcionais

Em um determinado mês do ano o litro de gasolina custava R$ 0,50. Tomando como base esse dado podemos formar a seguinte tabela.

Quantidade de gasolina (em litros)	Quantidade a pagar (em reais)
1	0,50
2	1,00
3	1,50

Observe:

Se a quantidade de gasolina dobra o preço a ser pago também dobra.

Se a quantidade de gasolina triplica o preço a ser pago também triplica.

Neste caso as duas grandezas envolvidas, quantia a ser paga e quantidade de gasolina, são chamadas grandezas diretamente proporcionais.

Duas grandezas são chamadas,  diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas a outra também dobra; triplicando uma delas a outra também triplica.

Grandezas inversamente proporcionais 

Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores  alunos. Se ele escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá  12 livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receberá 4 livros.

Observe a tabela:

Número de alunos escolhidos.	Números de livros para cada aluno
2	12
4	6
6	4

Se o número de aluno dobra, a quantidade de livros cai pela metade.

Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai para a terça parte. 

Duas grandezas são inversamente proporcionais  quando, dobrando uma delas, a outra se reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... e assim por diante.

 

Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam um na razão inversa do outro. 

Regra de Três

Consta na história da matemática que os gregos e os romanos conhecessem as proporções, porem não chegaram a aplica-las na resolução de problemas.

Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra de três. Nos século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o nome de Regra de Três Números Conhecidos.

Regra de três simples 

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. 

Passos utilizados numa regra de três simples 

·        Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 

·        Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 

·        Montar a proporção e resolver a equação. 

 Exemplos: 

a)     Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12 m do mesmo tecido?

Observe que as grandezas são diretamente proporcionais, aumentando o metro do tecido aumenta na mesma proporção o preço a ser pago.

Observe que o exercício foi montado respeitando o sentido das setas. 

A quantia a ser paga é de R$234,00.

b)     Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso?

Observe que as grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a velocidade o tempo diminui na razão inversa.

Resolução: 

O tempo a ser gasto é 3 horas.

Observe que o exercício foi montado respeitando os sentidos das setas.

 

 

VIDEO REGRA DE TRÊS SIMPLES

www.avagaeminha.com.br

CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

Temos que dois triângulos são congruentes:

• Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos.

• Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.

Casos de congruência:

1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.

2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.

3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.

4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.

Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração.

Dizemos que, em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

VÍDEO CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO

INCENTRO

Incentro de um triângulo é o ponto de cruzamento das bissetrizes internas desse triângulo. Esse incentro eqüidista dos lados dos triângulos sendo assim o centro da circunferência inscrita no triângulo.

CIRCUNCENTRO

Circuncentro é considerado o ponto de cruzamento das mediatrizes dos lados do triângulo.

Observação: ,Definições sobre o circuncentro do triângulo: • Acutângulo é um ponto da região interior do triângulo.

• Obtusângulo é um ponto da região exterior do triangulo.

• Retângulo é um ponto médio da hipotenusa.

Vejamos:

BARICENTRO

Baricentro é encontro das medianas do triângulo.

O baricentro também pode ser chamado de centro de gravidade do triângulo, dividindo assim cada mediana dentro da razão de 2:1. 

ORTOCENTRO

Ortocentro é o ponto onde interceptam as retas suportes das alturas do triângulo.

Importantes definições sobre o ortocentro do triângulo:

• Acutângulo é um ponto na região interior do triângulo.

• Obtusângulo é um ponto na região exterior do triângulo.

• Retângulo é o vértice do ângulo reto.